Анатолий Борисович Кузнецов родился 31 декабря 1930 года в семье певца Бориса Кузнецова. Именно с музыкой планировал изначально связать свою жизнь юный Анатолий. Однако проучившись два года в музыкальном училище им. М.М. Ипполитова-Иванова, Кузнецов, по настоянию своего педагога по сценическому мастерству Нины Осиповны Смирновой, решил поступать в театральный. И не просто поступил, а был принят и в Щукинское училище, и в Школу-студию МХАТ. Определиться с выбором юноше помог двоюродный брат — известный актер Михаил Артемьевич Кузнецов: таким образом, Анатолий Борисович продолжил своеобразную семейную традицию и стал студентом Школы-студии МХАТ (курс Александра Карева). Говорят, что выдающийся театральный режиссер Борис Захава, возглавлявший в то время знаменитую Щуку, очень сожалел, что его вуз не мог получить такого перспективного ученика как Анатолий Кузнецов.
Несмотря на театральную направленность Школы-студии, Анатолий Борисович оказался из тех актеров, чья кинематографическая судьба складывалась счастливей, чем театральная. Первую кинороль он получил еще будучи студентом 3 курса. Это был фильм Александра и Евгения Алексеевых "Опасные тропы". А сразу после окончания вуза начинающий актер был утвержден на роли в картинах "За витриной универмага" и "Гость с Кубани". Впрочем, съемки могли бы и не состояться, ведь по закону молодой специалист должен был отработать 3 года по распределению. Неожиданно покровительство Кузнецову оказал Иван Александрович Пырьев: после его телеграммы в Министерстве культуры уже никто об обязательной отработке по распределению не вспоминал.
В 1956 году Анатолий Кузнецов вновь оказался перед выбором: Эльдар Рязанов пригласил перспективного юношу в свою дебютную игровую работу "Карнавальная ночь" на роль Гриши Кольцова, и в это же время на Киевской киностудии Владимир Крайниченко и Григорий Липшиц запускались с фильмом "Путешествие в молодость", в котором предлагали Анатолию Борисовичу одну из главных ролей. Кузнецов отправился на съемки в Киев.
"Не поработать" с Рязановым у Анатолия Кузнецова получилось еще на трех картинах: "Берегись автомобиля", "Старики-разбойники" и "Гараж". В "Берегись автомобиля" Эльдар Александрович предложил актеру роль следователя Подберезовикова, но Анатолий Борисович хотел сыграть Деточкина и поэтому отказался. Образ Федора Федоровича Федяева из "Стариков-разбойников" не приглянулся Анатолию Кузнецову, так как, по его словам, ему в тот момент "хотелось чего-то характерного", а на роль председателя гаражного кооператива из комедии "Гараж" актер не смог согласиться из-за неотменяемой договоренности о съемках в чехословацкой картине "Гордубал" по Карелу Чапеку. Но совместный фильм у Кузнецова и Рязанова все же есть — это "Дайте жалобную книгу".
В 1969 году на экраны вышла без преувеличения культовая картина "Белое солнце пустыни", а товарищ Сухов в исполнении Анатолия Борисовича Кузнецова стал по истине всенародно любимым героем. Но судьба и самой картины и этой роли с самого начала складывалась очень непросто. Сценарий "Спасите гарем" был написан по просьбе режиссера Андрея Кончаловского, одну из главных ролей в фильме должна была сыграть Наталья Аринбасарова, а на роль Сухова планировалось позвать Николая Губенко. После того как Кончаловский отказался от участия в проекте, режиссерское кресло занял Владимир Мотыль, а сценарий переписали. Теперь Сухова должен был сыграть Георгий Юматов, но съемки с ним были приостановлены. Так в картине появился Анатолий Кузнецов, и у него получилось найти самые верные интонации для образа товарища Сухова, те, без которых "Белое солнце пустыни" просто невозможно представить.
К счастью, Анатолий Борисович оказался востребованным и в российском кинематографе, а в 1998г. даже выступил сопродюсером комедии "Райское яблочко". "Стамбульский транзит", "Ширли-Мырли", "Райское яблочко", "Раскаленная суббота", "Участок", "Кавалеры морской звезды", "Турецкий гамбит", "Последний приказ генерала", "День победы", "Старики", "Немец", "Мосгаз" - вот далеко неполный список его актерских работ за последние два десятилетия.
7 марта Анатолия Борисовича Кузнецова не стало. Гражданская панихида пройдет 13 марта в Доме кино. Похоронят актера на Новодевичьем кладбище.